En una época también estuve estudiando un poco de Algebra, pero eso fue hace mucho y la verdad no me acuerdo de casi nada, en primer lugar porque por ser ingeniero me oriento más a la práctica (Algebra Lineal, Algebra de Boole, etc.). Ten presente muchas de esas definiciones del Algebra como los anillos, grupos, etc., son más bien teóricas, buscan una cierta clasificación de los números y conjuntos de números y el estudio de sus relaciones válidas, se trata de conceptos más subjetivos de orden o de principios.
La forma de presentar la construcción de los dominios numéricos en las escuelas no es la misma que la forma como se lo ve en Matemática, ni tampoco se expone con el mismo orden de su evolución histórica debida a las necesidades reales de las respectivas sociedades humanas, de las cuales surgió la matemática.
En unas sociedades (o civilizaciones) un dominio numérico determinado se utilizó primero o después dependiendo de cuál de ellas miremos, y así, en muchas sociedades se usaron primero los números fraccionarios (después de los naturales) porque en ellas existía la necesidad de repartir los productos y esa repartición llevaba a dichos números, en tanto un número negativo (enteros) resultaba inconcebible porque para ellos no se podía contar algo si no se tiene, no se podía tener de menos, y como tampoco habían inventado el cero, los números negativos surgieron más tarde o nunca los tuvieron en cuenta distintos pueblos.
El propósito principal de reunir números en dominios consiste, por lo menos en la práctica, en poder conocer con seguridad las relaciones válidas entre ellos, la forma de operar con ellos para solucionar los problemas prácticos donde por sus características se los necesite, porque como es natural, una misma operación, como la suma, puede desarrollarse de forma distinta según dónde se la use, según las particularidades de los operandos, incluso cuando en todos los casos la operación se represente con un mismo símbolo.
En otras palabras, tu duda puede ser más o menos importante en dependencia de donde uno se desenvuelva, un ingeniero sólo usa matemática aplicada, un matemático se preocupa por la matemática pura, incluso cuando en general todo eso tiene mucha importancia.
